Андрей, если директор частной клиники является руководителем медицинской организации (согласно Устава), то наличие у него сертификата специалиста по организации здравоохранения и общественному здоровью обязательно.
Это одно из лицензионных требований согласно
Постановления Правительства РФ от 16.04.2012 N 291.